Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 17 x - 11}{x - 4}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$17 x$

$11$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$x$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$x$	-	$11$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$x$	-	$11$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$x$	-	$11$
							+	$x$	-	$4$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 4$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$x$	-	$11$
							-	$x$	+	$4$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$17 x$	-	$11$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$x$	-	$11$
							-	$x$	+	$4$
									-	$7$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{2} - 4 x + 1 - \frac{7}{x - 4}$