Основы мат. анализа Примеры

$\sin (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2

Умножим это выражение на множитель $1$ , чтобы получить наименьшее общее кратное знаменателей (НОЗ) для $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot 2$

Этап 3

Перенесем $2$ влево от $\sin (2 θ)$ .

$\frac{2 \sin (2 θ)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4

Упростим $\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $2$ на $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2

Умножим $\sin (2 θ)$ на $1$ .

$\sin (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$2 θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$2 θ = \frac{π}{3}$

Этап 7

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 7.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 θ = π - \frac{π}{3}$

Этап 9

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 9.1.2

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 9.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $3$ .

$2 θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 9.1.4.2

Вычтем $π$ из $3 \cdot π$ .

$2 θ = \frac{2 \cdot π}{3}$

Этап 9.2

Разделим каждый член $2 θ = \frac{2 \cdot π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{2 \cdot π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 10

Найдем период $\sin (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 10.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11

Период функции $\sin (2 θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , для любого целого $n$