Основы мат. анализа Примеры

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = - 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ .

$- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ на $1$ .

$\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = \frac{0}{- 3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 3$ .

$\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Этап 1.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{1}{2} x + \frac{π}{5} = \arcsin (0)$

Этап 1.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \arcsin (0)$

Этап 1.2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = 0$

Этап 1.2.6

Вычтем $\frac{π}{5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{5}$

Этап 1.2.7

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{5})$

Этап 1.2.8

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{5})$

Этап 1.2.8.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (- \frac{π}{5})$

Этап 1.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Упростим $2 (- \frac{π}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1.1

Умножим $2 (- \frac{π}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{5}$

Этап 1.2.8.2.1.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{π}{5}$ .

$x = \frac{- 2 π}{5}$

Этап 1.2.8.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 π}{5}$

Этап 1.2.9

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = π - 0$

Этап 1.2.10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = π$

Этап 1.2.10.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.1

Вычтем $\frac{π}{5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{5}$

Этап 1.2.10.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5}$

Этап 1.2.10.2.3

Объединим $π$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{5} - \frac{π}{5}$

Этап 1.2.10.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5 - π}{5}$

Этап 1.2.10.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.5.1

Перенесем $5$ влево от $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 \cdot π - π}{5}$

Этап 1.2.10.2.5.2

Вычтем $π$ из $5 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{4 π}{5}$

Этап 1.2.10.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{5}$

Этап 1.2.10.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{5}$

Этап 1.2.10.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{4 π}{5}$

Этап 1.2.10.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.2.1

Умножим $2 \frac{4 π}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.2.1.1

Объединим $2$ и $\frac{4 π}{5}$ .

$x = \frac{2 (4 π)}{5}$

Этап 1.2.10.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π}{5}$

Этап 1.2.11

Найдем период $\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.11.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 1.2.11.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.11.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 1.2.11.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 1.2.12

Добавим $4 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Добавим $4 π$ к $- \frac{2 π}{5}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{2 π}{5} + 4 π$

Этап 1.2.12.2

Чтобы записать $4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$4 π \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 π}{5}$

Этап 1.2.12.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.3.1

Объединим $4 π$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 π \cdot 5}{5} - \frac{2 π}{5}$

Этап 1.2.12.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 π \cdot 5 - 2 π}{5}$

Этап 1.2.12.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.4.1

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20 π - 2 π}{5}$

Этап 1.2.12.4.2

Вычтем $2 π$ из $20 π$ .

$\frac{18 π}{5}$

Этап 1.2.12.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{18 π}{5}$

Этап 1.2.13

Период функции $\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{8 π}{5} + 4 π n, \frac{18 π}{5} + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.14

Объединим ответы.

$x = \frac{8 π}{5} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{8 π}{5} + 2 π n, 0)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{π}{5})$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Этап 2.2.3

Упростим $- 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$y = - 3 \sin (0 + \frac{π}{5})$

Этап 2.2.3.2

Добавим $0$ и $\frac{π}{5}$ .

$y = - 3 \sin (\frac{π}{5})$

Этап 2.2.3.3

Найдем значение $\sin (\frac{π}{5})$ .

$y = - 3 \cdot 0.58778525$

Этап 2.2.3.4

Умножим $- 3$ на $0.58778525$ .

$y = - 1.76335575$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 1.76335575)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{8 π}{5} + 2 π n, 0)$ , для любого целого $n$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 1.76335575)$

Этап 4