Основы мат. анализа Примеры

$\tan (75 °)$

Этап 1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $75 °$ можно разделить на $30 + 45$ .

$\tan (30 + 45)$

Этап 2

Используем формулу тангенса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Этап 3.2

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Этап 3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Этап 4.2

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 7

Умножим $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Этап 8.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Этап 8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Этап 8.5

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}$

Этап 8.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Этап 8.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $3 \sqrt{3} + 3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.5.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 10.2

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 3 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 10.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $4 + 2 \sqrt{3}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 10.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Этап 10.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Этап 10.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Этап 10.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 10.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Этап 10.4.4.4

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 + \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$3.73205080 \dots$