Основы мат. анализа Примеры

$y = - 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = - 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ .

$- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ на $1$ .

$\cos (4 x + \frac{π}{3}) = \frac{0}{- 3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 3$ .

$\cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$

Этап 1.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$4 x + \frac{π}{3} = \arccos (0)$

Этап 1.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$4 x = \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Этап 1.2.5.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 1.2.5.3

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.5.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.5.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.5.4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Этап 1.2.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Этап 1.2.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.6.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{6}$

Этап 1.2.5.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x = \frac{3 π - 2 π}{6}$

Этап 1.2.5.6.3

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Этап 1.2.6

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{6}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{6}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Этап 1.2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Этап 1.2.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Этап 1.2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.2.6.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.3.2.2

Умножим $6$ на $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Этап 1.2.7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$4 x + \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.8.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.8.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.8.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.2.8.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.8.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$4 x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

Этап 1.2.8.2.2

Чтобы записать $\frac{3 π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 1.2.8.2.3

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.8.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.4.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.8.2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.8.2.4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 1.2.8.2.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Этап 1.2.8.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Этап 1.2.8.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$4 x = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

Этап 1.2.8.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x = \frac{9 π - 2 π}{6}$

Этап 1.2.8.2.6.3

Вычтем $2 π$ из $9 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{6}$

Этап 1.2.8.3

Разделим каждый член $4 x = \frac{7 π}{6}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.3.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{7 π}{6}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Этап 1.2.8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Этап 1.2.8.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Этап 1.2.8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.2.8.3.3.2

Умножим $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.3.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 4}$

Этап 1.2.8.3.3.2.2

Умножим $6$ на $4$ .

$x = \frac{7 π}{24}$

Этап 1.2.9

Найдем период $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.9.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 1.2.9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 1.2.9.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 1.2.9.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.9.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.9.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 1.2.10

Период функции $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.11

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, 0)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = - 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$

Этап 2.2.2

Упростим $- 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $4$ на $0$ .

$y = - 3 \cos (0 + \frac{π}{3})$

Этап 2.2.2.2

Добавим $0$ и $\frac{π}{3}$ .

$y = - 3 \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.2.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$y = - 3 (\frac{1}{2})$

Этап 2.2.2.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{2}$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - \frac{3}{2})$

Этап 3

Перечислим пересечения.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, 0)$ , для любого целого $n$

Точки пересечения с осью y: $(0, - \frac{3}{2})$

Этап 4