Основы мат. анализа Примеры

$(1 - \cos (θ)) (\csc (θ) + \cot (θ))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\csc (θ)$ через синусы и косинусы.

$(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ))$

Этап 1.2

Выразим $\cot (θ)$ через синусы и косинусы.

$(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Этап 2

Развернем $(1 - \cos (θ)) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) - \cos (θ) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{1}{\sin (θ)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3.1.2

Умножим $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3.1.3

Объединим $\frac{1}{\sin (θ)}$ и $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3.1.4

Умножим $- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Объединим $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ и $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3.1.4.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3.1.4.3

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)}$

Этап 3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3.2

Вычтем $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ из $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} + 0 - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3.3

Добавим $\frac{1}{\sin (θ)}$ и $0$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $\sin^{2} (θ)$ и $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 1}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (θ)}{1}$

Этап 6.2.4

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ)$