Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{3 x + 2}{4 x - 7}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{3 x + 2}{4 x - 7})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = 3 x + 2$ и $g (y) = 4 x - 7$ .

$\frac{(4 x - 7) \frac{d}{d y} [3 x + 2] - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{(4 x - 7) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 x$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + 0) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $3 x'$ и $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x') - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Перенесем $3$ влево от $4 x - 7$ .

$\frac{3 \cdot (4 x - 7) x' - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $4 x - 7$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 x$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.8

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $- 7$ является константой относительно $y$ , производная $- 7$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + 0)}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $4 x'$ и $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x')}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.10.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 (4 x) + 3 \cdot - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' + (- 4 (3 x) - 4 \cdot 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 x x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.5.1.2

Умножим $3$ на $- 7$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.5.1.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.5.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.5.2

Объединим противоположные члены в $12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.2.1

Вычтем $12 x x'$ из $12 x x'$ .

$\frac{0 - 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.5.2.2

Вычтем $21 x'$ из $0$ .

$\frac{- 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.5.3

Вычтем $8 x'$ из $- 21 x'$ .

$\frac{- 29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.11.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ .

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$ на $1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = - 1$

Этап 5.3

Умножим обе части на ${(4 x - 7)}^{2}$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Этап 5.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель ${(4 x - 7)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Этап 5.4.1.2

Перепишем это выражение.

$29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ на $29$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ на $29$ .

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$