Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{\sec (θ) + \tan (θ)} + \frac{1}{\sec (θ) - \tan (θ)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{1}{\sec (θ) + \tan (θ)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sec (θ) - \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ .

$\frac{1}{\sec (θ) + \tan (θ)} \cdot \frac{\sec (θ) - \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} + \frac{1}{\sec (θ) - \tan (θ)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) + \tan (θ)}$ .

$\frac{1}{\sec (θ) + \tan (θ)} \cdot \frac{\sec (θ) - \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} + \frac{1}{\sec (θ) - \tan (θ)} \cdot \frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) + \tan (θ)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(\sec (θ) + \tan (θ)) (\sec (θ) - \tan (θ))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\sec (θ) + \tan (θ)}$ на $\frac{\sec (θ) - \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ .

$\frac{\sec (θ) - \tan (θ)}{(\sec (θ) + \tan (θ)) (\sec (θ) - \tan (θ))} + \frac{1}{\sec (θ) - \tan (θ)} \cdot \frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) + \tan (θ)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ на $\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) + \tan (θ)}$ .

$\frac{\sec (θ) - \tan (θ)}{(\sec (θ) + \tan (θ)) (\sec (θ) - \tan (θ))} + \frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{(\sec (θ) - \tan (θ)) (\sec (θ) + \tan (θ))}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(\sec (θ) - \tan (θ)) (\sec (θ) + \tan (θ))$ .

$\frac{\sec (θ) - \tan (θ)}{(\sec (θ) + \tan (θ)) (\sec (θ) - \tan (θ))} + \frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{(\sec (θ) + \tan (θ)) (\sec (θ) - \tan (θ))}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sec (θ) - \tan (θ) + \sec (θ) + \tan (θ)}{(\sec (θ) + \tan (θ)) (\sec (θ) - \tan (θ))}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\sec (θ)$ и $\sec (θ)$ .

$\frac{2 \sec (θ) - \tan (θ) + \tan (θ)}{(\sec (θ) + \tan (θ)) (\sec (θ) - \tan (θ))}$

Этап 5.2

Добавим $- \tan (θ)$ и $\tan (θ)$ .

$\frac{2 \sec (θ) + 0}{(\sec (θ) + \tan (θ)) (\sec (θ) - \tan (θ))}$

Этап 5.3

Добавим $2 \sec (θ)$ и $0$ .

$\frac{2 \sec (θ)}{(\sec (θ) + \tan (θ)) (\sec (θ) - \tan (θ))}$