Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x + 6}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 6} 2 x^{2} + 9 x - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 6$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} 2 x^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 6} x^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $18$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 6$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 6$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$\frac{2 {(- 6)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$\frac{2 {(- 6)}^{2} + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 36 + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Умножим $2$ на $36$ .

$\frac{72 + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Умножим $9$ на $- 6$ .

$\frac{72 - 54 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Умножим $- 1$ на $18$ .

$\frac{72 - 54 - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $54$ из $72$ .

$\frac{18 - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.2.7.3

Вычтем $18$ из $18$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 6}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$\frac{0}{- 6 + 6}$

Этап 1.1.3.3

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x + 6} = lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x - 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x - 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 9 x - 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $9$ на $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3.6

Добавим $4 x + 9$ и $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1 + \frac{d}{d x} [6]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1}$

Этап 1.4

Разделим $4 x + 9$ на $1$ .

$lim_{x \to - 6} 4 x + 9$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 6$ .

$lim_{x \to - 6} 4 x + lim_{x \to - 6} 9$

Этап 2.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 9$

Этап 2.3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 6$ .

$4 lim_{x \to - 6} x + 9$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 6$ для $x$ .

$4 \cdot - 6 + 9$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $4$ на $- 6$ .

$- 24 + 9$

Этап 4.2

Добавим $- 24$ и $9$ .

$- 15$