Основы мат. анализа Примеры

$\log_{7} (x^{2} - 11 x + 30) - \log_{7} (x^{2} - 36) + \log_{7} (x + 6)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x^{2} - 11 x + 30}{x^{2} - 36}) + \log_{7} (x + 6)$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (\frac{x^{2} - 11 x + 30}{x^{2} - 36} (x + 6))$

Этап 3

Разложим $x^{2} - 11 x + 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $30$ , а сумма — $- 11$ .

$- 6, - 5$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x^{2} - 36} (x + 6))$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x^{2} - 6^{2}} (x + 6))$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{(x + 6) (x - 6)} (x + 6))$

Этап 5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{(x + 6) (x - 6)} (x + 6))$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x - 6})$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{7} (\frac{(x - 6) (x - 5)}{x - 6})$

Этап 5.2.2

Разделим $x - 5$ на $1$ .

$\log_{7} (x - 5)$