Основы мат. анализа Примеры

{log}_{4} (x - 4) + 2 {log}_{4} (x + 4) - {log}_{4} (x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32)

$\log_{4} (x - 4) + 2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

2 {log}_{4} (x + 4) + {log}_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})

$2 \log_{4} (x + 4) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим

2 {log}_{4} (x + 4)

$2 \log_{4} (x + 4)$ путем переноса

2

$2$ под логарифм.

{log}_{4} ({(x + 4)}^{2}) + {log}_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

{log}_{4} ({(x + 4)}^{2}) + {log}_{4} (\frac{x - 4}{(x^{3} + 2 x^{2}) - 16 x - 32})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x^{3} + 2 x^{2}) - 16 x - 32})$

Этап 2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

{log}_{4} ({(x + 4)}^{2}) + {log}_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})$

{log}_{4} ({(x + 4)}^{2}) + {log}_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})$

Этап 2.2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель

x + 2

$x + 2$ .

{log}_{4} ({(x + 4)}^{2}) + {log}_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 16)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 16)})$

Этап 2.2.3

Перепишем

16

$16$ в виде

4^{2}

$4^{2}$ .

{log}_{4} ({(x + 4)}^{2}) + {log}_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 4^{2})})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 4^{2})})$

Этап 2.2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = x

$a = x$ и

b = 4

$b = 4$ .

{log}_{4} ({(x + 4)}^{2}) + {log}_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

{log}_{4} ({(x + 4)}^{2}) + {log}_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

Этап 2.3

Сократим общий множитель

$x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Этап 3

Используем свойства произведения логарифмов:

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2} \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Этап 4

Сократим общий множитель

$x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель

$x + 4$ из

${(x + 4)}^{2}$ .

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Этап 4.2

Вынесем множитель

$x + 4$ из

$(x + 2) (x + 4)$ .

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

Этап 4.3

Сократим общий множитель.

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

Этап 4.4

Перепишем это выражение.

$\log_{4} ((x + 4) \frac{1}{x + 2})$

Этап 5

Умножим

$x + 4$ на

$\frac{1}{x + 2}$ .

$\log_{4} (\frac{x + 4}{x + 2})$