Основы мат. анализа Примеры

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} = 10$

Этап 1

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{x} + 100 e^{- x} = 10 \cdot 2$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $10$ на $2$ .

$e^{x} + 100 e^{- x} = 20$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$e^{x} + 100 {(e^{x})}^{- 1} = 20$

Этап 3.2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u + 100 u^{- 1} = 20$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 100 (\frac{1}{u}) = 20$

Этап 3.3.2

Объединим $100$ и $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{100}{u} = 20$

Этап 3.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 3.4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 3.4.2

Каждый член в $u + \frac{100}{u} = 20$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим каждый член $u + \frac{100}{u} = 20$ на $u$ .

$u \cdot u + \frac{100}{u} u = 20 u$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Этап 3.4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Этап 3.4.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} + 100 = 20 u$

Этап 3.4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вычтем $20 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 100 - 20 u = 0$

Этап 3.4.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Переставляем члены.

$u^{2} - 20 u + 100 = 0$

Этап 3.4.3.2.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$u^{2} - 20 u + 10^{2} = 0$

Этап 3.4.3.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$20 u = 2 \cdot u \cdot 10$

Этап 3.4.3.2.4

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 10 + 10^{2} = 0$

Этап 3.4.3.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 10$ .

${(u - 10)}^{2} = 0$

Этап 3.4.3.3

Приравняем $u - 10$ к $0$ .

$u - 10 = 0$

Этап 3.4.3.4

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$u = 10$

Этап 3.5

Подставим $10$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$10 = e^{x}$

Этап 3.6

Решим $10 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 10$ .

$e^{x} = 10$

Этап 3.6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (10)$

Этап 3.6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (10)$

Этап 3.6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (10)$

Этап 3.6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (10)$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (10)$

Десятичная форма:

$x = 2.30258509 \dots$