Основы мат. анализа Примеры

$(3 x + 2) (x - 4) > 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 2.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 2) (x - 4) > 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, 4$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 4$

$x > 4$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$(3 (- 3) + 2) ((- 3) - 4) > 0$

Этап 6.1.3

Левая часть $49$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- \frac{2}{3} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{2}{3} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(3 (0) + 2) ((0) - 4) > 0$

Этап 6.2.3

Левая часть $- 8$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(3 (6) + 2) ((6) - 4) > 0$

Этап 6.3.3

Левая часть $40$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{2}{3}$ Истина

$- \frac{2}{3} < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - \frac{2}{3}$ Истина

$- \frac{2}{3} < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{2}{3}$ или $x > 4$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \frac{2}{3} or x > 4$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (4, \infty)$

Этап 9