Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{5} \cdot \log_{3} (32) - 2 \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (y)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{5} \log_{3} (32)$ путем переноса $\frac{1}{5}$ под логарифм.

$\log_{3} (32^{\frac{1}{5}}) - 2 \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (y)$

Этап 1.2

Перепишем $32$ в виде $2^{5}$ .

$\log_{3} ({(2^{5})}^{\frac{1}{5}}) - 2 \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (y)$

Этап 1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (2^{5 (\frac{1}{5})}) - 2 \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (y)$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (2^{5 (\frac{1}{5})}) - 2 \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (y)$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (2^{1}) - 2 \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (y)$

Этап 1.5

Найдем экспоненту.

$\log_{3} (2) - 2 \log_{3} (x) + \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (y)$

Этап 1.6

Упростим $- 2 \log_{3} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{3} (2) - \log_{3} (x^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (y)$

Этап 1.7

Упростим $\frac{1}{2} \log_{3} (y)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log_{3} (2) - \log_{3} (x^{2}) + \log_{3} (y^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{2}{x^{2}}) + \log_{3} (y^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (\frac{2}{x^{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 4

Объединим $\frac{2}{x^{2}}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{2}})$