Основы мат. анализа Примеры

$\log (x) + \log (x^{2} - 1) - 2 \log (x) - \log (x + 1)$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x^{2} - 1)) - 2 \log (x) - \log (x + 1)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x (x^{2} - 1)}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log (\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Этап 3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\log (\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Этап 3.2.2

Разделим $x (x - 1)$ на $1$ .

$\log (x (x - 1)) - 2 \log (x)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 1) - 2 \log (x)$

Этап 3.4

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 1) - 2 \log (x)$

Этап 3.5

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\log (x^{2} - 1 \cdot x) - 2 \log (x)$

Этап 3.6

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\log (x^{2} - x) - 2 \log (x)$

Этап 3.7

Упростим $- 2 \log (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{2} - x) - \log (x^{2})$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - x}{x^{2}})$

Этап 5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\log (\frac{x \cdot x - x}{x^{2}})$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\log (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{x^{2}})$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\log (\frac{x (x - 1)}{x^{2}})$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\log (\frac{x (x - 1)}{x \cdot x})$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{x (x - 1)}{x \cdot x})$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{x - 1}{x})$