Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x^{2} - 4 y^{2}) - 2 \ln (x - 2 y) - \ln (7)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} - 4 y^{2}}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

$\ln (\frac{x^{2} - {(2 y)}^{2}}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2 y$ .

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - (2 y))}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Этап 2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7}) - 2 \ln (x - 2 y)$

Этап 2.2

Упростим $- 2 \ln (x - 2 y)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7}) - \ln ({(x - 2 y)}^{2})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7}}{{(x - 2 y)}^{2}})$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y)}{7} \cdot \frac{1}{{(x - 2 y)}^{2}})$

Этап 5

Объединим.

$\ln (\frac{(x + 2 y) (x - 2 y) \cdot 1}{7 {(x - 2 y)}^{2}})$

Этап 6

Сократим общий множитель $x - 2 y$ и ${(x - 2 y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x - 2 y$ из $(x + 2 y) (x - 2 y) \cdot 1$ .

$\ln (\frac{(x - 2 y) ((x + 2 y) \cdot 1)}{7 {(x - 2 y)}^{2}})$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x - 2 y$ из $7 {(x - 2 y)}^{2}$ .

$\ln (\frac{(x - 2 y) ((x + 2 y) \cdot 1)}{(x - 2 y) (7 (x - 2 y))})$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{(x - 2 y) ((x + 2 y) \cdot 1)}{(x - 2 y) (7 (x - 2 y))})$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{(x + 2 y) \cdot 1}{7 (x - 2 y)})$

Этап 7

Умножим $x + 2 y$ на $1$ .

$\ln (\frac{x + 2 y}{7 (x - 2 y)})$