Основы мат. анализа Примеры

$\log (x - 2) + \log (x + 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем $(x - 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 2$ и $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Этап 2.2.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Этап 2.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Этап 2.3.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\log (x^{2} - 4) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Этап 2.4

Упростим $- 0.5 \log (x^{2} + 4)$ путем переноса $0.5$ под логарифм.

$\log (x^{2} - 4) - \log ({(x^{2} + 4)}^{0.5})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 4}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 2^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$