Основы мат. анализа Примеры

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (\sqrt{27})}$

Этап 1

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (\sqrt{9 (3)})}$

Этап 1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (\sqrt{3^{2} \cdot 3})}$

Этап 2

Вынесем члены из-под знака корня.

${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (3 \sqrt{3})}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{2}{3}})}^{\ln (3 \sqrt{3})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{2}{3} \ln (3 \sqrt{3})}$

Этап 3.2

Упростим $\frac{2}{3} \ln (3 \sqrt{3})$ путем переноса $\frac{2}{3}$ под логарифм.

$e^{\ln ({(3 \sqrt{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $3 \sqrt{3}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 3.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} {(3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}})}$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{2 \cdot 3}})}$

Этап 3.4.4

Умножим $2$ на $3$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{6}})}$

Этап 3.4.5

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2 (1)}{6}})}$

Этап 3.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})}$

Этап 3.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})}$

Этап 3.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}})}$

Этап 3.4.6

Перепишем $3^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{3}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3})}$

Этап 3.5

Умножим $3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{3}}$ .

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}})}$

Этап 3.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{\ln (3^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}})}$

Этап 3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{\ln (3^{\frac{2 + 1}{3}})}$

Этап 3.5.4

Добавим $2$ и $1$ .

$e^{\ln (3^{\frac{3}{3}})}$

Этап 3.5.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Сократим общий множитель.

$e^{\ln (3^{\frac{3}{3}})}$

Этап 3.5.5.2

Перепишем это выражение.

$e^{\ln (3^{1})}$

Этап 3.6

Найдем экспоненту.

$e^{\ln (3)}$

Этап 4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$3$