Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{4} \cdot (3 \ln (x + 2) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 81))$

Этап 1

Упростим $3 \ln (x + 2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{1}{4} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{3}) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 81))$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \cdot (\ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x}) - \ln (x^{2} - 81))$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 2)}^{3}}{x}}{x^{2} - 81})$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 81})$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 9^{2}})$

Этап 5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{(x + 9) (x - 9)})$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим.

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3} \cdot 1}{x ((x + 9) (x - 9))})$

Этап 6.2

Умножим ${(x + 2)}^{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x ((x + 9) (x - 9))})$

Этап 7

Упростим $\frac{1}{4} \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 9) (x - 9)})$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 9) (x - 9)})}^{\frac{1}{4}})$

Этап 8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило умножения к $\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 9) (x - 9)}$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{{(x (x + 9) (x - 9))}^{\frac{1}{4}}})$

Этап 8.2

Применим правило умножения к $x (x + 9) (x - 9)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{{(x (x + 9))}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$

Этап 8.3

Применим правило умножения к $x (x + 9)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} {(x + 9)}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$

Этап 9

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{3 (\frac{1}{4})}}{x^{\frac{1}{4}} {(x + 9)}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$

Этап 9.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} {(x + 9)}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$