Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 3)}^{2}) + \log (x^{2}) - \log (x^{2} - 2 x - 15)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 3)}^{2}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{1}{3} \log ({(x + 3)}^{2})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\log ({({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log ({(x + 3)}^{2 (\frac{1}{3})}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Этап 2.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15})$

Этап 2.3

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \log (\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

Этап 3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

Этап 4

Объединим ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$ .

$\log (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$

Этап 5

Перенесем ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}})$

Этап 6

Умножим $x + 3$ на ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) ({(x + 3)}^{- \frac{2}{3}} (x + 3))})$

Этап 6.2

Умножим ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) ({(x + 3)}^{- \frac{2}{3}} {(x + 3)}^{1})})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3} + 1}})$

Этап 6.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}})$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{- 2 + 3}{3}}})$

Этап 6.5

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 7

Изменим порядок множителей в $\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$ .

$\log (\frac{x^{2}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (x - 5)})$