Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2} \cdot \ln (9) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{2} \ln (9)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln (9^{\frac{1}{2}}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Этап 1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\ln ({(3^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Этап 1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (3^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (3^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (3^{1}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Этап 1.5

Найдем экспоненту.

$\ln (3) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Этап 1.6

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3) - 2 \ln ((x + 2) (x - 2))$

Этап 1.7

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3) - 2 \ln (x (x - 2) + 2 (x - 2))$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))$

Этап 1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Этап 1.8

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Этап 1.8.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)$

Этап 1.8.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + 2 \cdot - 2)$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Этап 1.9.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x^{2} - 4)$

Этап 1.10

Упростим $- 2 \ln (x^{2} - 4)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (3) - \ln ({(x^{2} - 4)}^{2})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\ln (\frac{3}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}})$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\ln (\frac{3}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}})$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$\ln (\frac{3}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}})$