Основы мат. анализа Примеры

$\log (2 x - 2) + \log (x - 6) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((2 x - 2) (x - 6)) = 2$

Этап 1.2

Развернем $(2 x - 2) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x (x - 6) - 2 (x - 6)) = 2$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 2 (x - 6)) = 2$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Этап 1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (2 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\log (2 x^{2} - 12 x - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$\log (2 x^{2} - 12 x - 2 x + 12) = 2$

Этап 1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 12 x$ .

$\log (2 x^{2} - 14 x + 12) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log (2 x^{2} - 14 x + 12) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 2 x^{2} - 14 x + 12$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} - 14 x + 12 = 10^{2}$ .

$2 x^{2} - 14 x + 12 = 10^{2}$

Этап 3.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 12 = 100$

Этап 3.3

Вычтем $100$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 14 x + 12 - 100 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $100$ из $12$ .

$2 x^{2} - 14 x - 88 = 0$

Этап 3.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 14 x - 88$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 14 x - 88 = 0$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 14 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 7 x) - 88 = 0$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 88$ .

$2 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 44 = 0$

Этап 3.5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (- 7 x)$ .

$2 (x^{2} - 7 x) + 2 \cdot - 44 = 0$

Этап 3.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 7 x) + 2 \cdot - 44$ .

$2 (x^{2} - 7 x - 44) = 0$

Этап 3.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разложим $x^{2} - 7 x - 44$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 44$ , а сумма — $- 7$ .

$- 11, 4$

Этап 3.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((x - 11) (x + 4)) = 0$

Этап 3.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 11) (x + 4) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 11 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 11$ к $0$ .

$x - 11 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$x = 11$

Этап 3.8

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 11) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 11, - 4$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (2 x - 2) + \log (x - 6) = 2$ истинным.

$x = 11$