Основы мат. анализа Примеры

$\log_{8} (\frac{x (x^{2} + 3)}{\sqrt{x^{2} - 3}})$

Этап 1

Перепишем $\log_{8} (\frac{x (x^{2} + 3)}{\sqrt{x^{2} - 3}})$ в виде $\log_{8} (x (x^{2} + 3)) - \log_{8} (\sqrt{x^{2} - 3})$ .

$\log_{8} (x (x^{2} + 3)) - \log_{8} (\sqrt{x^{2} - 3})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 3}$ в виде ${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{8} (x (x^{2} + 3)) - \log_{8} ({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Развернем $\log_{8} ({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\log_{8} (x (x^{2} + 3)) - (\frac{1}{2} \log_{8} (x^{2} - 3))$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{8} (x^{2} - 3)$ .

$\log_{8} (x (x^{2} + 3)) - \frac{\log_{8} (x^{2} - 3)}{2}$

Этап 5

Перепишем $\log_{8} (x (x^{2} + 3))$ в виде $\log_{8} (x) + \log_{8} (x^{2} + 3)$ .

$\log_{8} (x) + \log_{8} (x^{2} + 3) - \frac{\log_{8} (x^{2} - 3)}{2}$

Этап 6

Чтобы записать $\log_{8} (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\log_{8} (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\log_{8} (x^{2} - 3)}{2} + \log_{8} (x^{2} + 3)$

Этап 7

Объединим $\log_{8} (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{8} (x) \cdot 2}{2} - \frac{\log_{8} (x^{2} - 3)}{2} + \log_{8} (x^{2} + 3)$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log_{8} (x) \cdot 2 - \log_{8} (x^{2} - 3)}{2} + \log_{8} (x^{2} + 3)$

Этап 9

Перенесем $2$ влево от $\log_{8} (x)$ .

$\frac{2 \log_{8} (x) - \log_{8} (x^{2} - 3)}{2} + \log_{8} (x^{2} + 3)$

Этап 10

Чтобы записать $\log_{8} (x^{2} + 3)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \log_{8} (x) - \log_{8} (x^{2} - 3)}{2} + \log_{8} (x^{2} + 3) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 11

Объединим $\log_{8} (x^{2} + 3)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \log_{8} (x) - \log_{8} (x^{2} - 3)}{2} + \frac{\log_{8} (x^{2} + 3) \cdot 2}{2}$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \log_{8} (x) - \log_{8} (x^{2} - 3) + \log_{8} (x^{2} + 3) \cdot 2}{2}$

Этап 13

Перенесем $2$ влево от $\log_{8} (x^{2} + 3)$ .

$\frac{2 \log_{8} (x) - \log_{8} (x^{2} - 3) + 2 \log_{8} (x^{2} + 3)}{2}$