Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^{3} - x}})$

Этап 1

Перепишем $\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^{3} - x}})$ в виде $\log_{5} (x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{x^{3} - x})$ .

$\log_{5} (x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{x^{3} - x})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3} - x}$ в виде ${(x^{3} - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}) - \log_{5} ({(x^{3} - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Развернем $\log_{5} ({(x^{3} - x)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\log_{5} (x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{2} \log_{5} (x^{3} - x))$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{5} (x^{3} - x)$ .

$\log_{5} (x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{\log_{5} (x^{3} - x)}{2}$

Этап 5

Перепишем $\log_{5} (x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}})$ в виде $\log_{5} (x^{2}) + \log_{5} ({(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}})$ .

$\log_{5} (x^{2}) + \log_{5} ({(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{\log_{5} (x^{3} - x)}{2}$

Этап 6

Развернем $\log_{5} (x^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$2 \log_{5} (x) + \log_{5} ({(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{\log_{5} (x^{3} - x)}{2}$

Этап 7

Развернем $\log_{5} ({(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}})$ , вынося $\frac{3}{2}$ из логарифма.

$2 \log_{5} (x) + \frac{3}{2} \log_{5} (1 - 5 x) - \frac{\log_{5} (x^{3} - x)}{2}$

Этап 8

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\log_{5} (1 - 5 x)$ .

$2 \log_{5} (x) + \frac{3 \log_{5} (1 - 5 x)}{2} - \frac{\log_{5} (x^{3} - x)}{2}$

Этап 9

Чтобы записать $2 \log_{5} (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \log_{5} (x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \log_{5} (1 - 5 x)}{2} - \frac{\log_{5} (x^{3} - x)}{2}$

Этап 10

Объединим $2 \log_{5} (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \log_{5} (x) \cdot 2}{2} + \frac{3 \log_{5} (1 - 5 x)}{2} - \frac{\log_{5} (x^{3} - x)}{2}$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \log_{5} (x) \cdot 2 + 3 \log_{5} (1 - 5 x)}{2} - \frac{\log_{5} (x^{3} - x)}{2}$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \log_{5} (x) \cdot 2 + 3 \log_{5} (1 - 5 x) - \log_{5} (x^{3} - x)}{2}$

Этап 13

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 \log_{5} (x) + 3 \log_{5} (1 - 5 x) - \log_{5} (x^{3} - x)}{2}$