Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (\frac{125 x (\sqrt{x + 1})}{{(x - 3)}^{4}})$

Этап 1

Перепишем $\log_{5} (\frac{125 x (\sqrt{x + 1})}{{(x - 3)}^{4}})$ в виде $\log_{5} (125 x (\sqrt{x + 1})) - \log_{5} ({(x - 3)}^{4})$ .

$\log_{5} (125 x (\sqrt{x + 1})) - \log_{5} ({(x - 3)}^{4})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (125 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} ({(x - 3)}^{4})$

Этап 3

Развернем $\log_{5} ({(x - 3)}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\log_{5} (125 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - (4 \log_{5} (x - 3))$

Этап 4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\log_{5} (125 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Этап 5

Перепишем $\log_{5} (125 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ в виде $\log_{5} (125 x) + \log_{5} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\log_{5} (125 x) + \log_{5} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Этап 6

Перепишем $\log_{5} (125 x)$ в виде $\log_{5} (125) + \log_{5} (x)$ .

$\log_{5} (125) + \log_{5} (x) + \log_{5} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Этап 7

Развернем $\log_{5} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\log_{5} (125) + \log_{5} (x) + \frac{1}{2} \log_{5} (x + 1) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Этап 8

Логарифм $125$ по основанию $5$ равен $3$ .

$3 + \log_{5} (x) + \frac{1}{2} \log_{5} (x + 1) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{5} (x + 1)$ .

$3 + \log_{5} (x) + \frac{\log_{5} (x + 1)}{2} - 4 \log_{5} (x - 3)$

Этап 10

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{5} (x + 1)}{2} + \log_{5} (x) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Этап 11

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{\log_{5} (x + 1)}{2} + \log_{5} (x) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 2 + \log_{5} (x + 1)}{2} + \log_{5} (x) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Этап 13

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 + \log_{5} (x + 1)}{2} + \log_{5} (x) - 4 \log_{5} (x - 3)$

Этап 14

Чтобы записать $- 4 \log_{5} (x - 3)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 + \log_{5} (x + 1)}{2} - 4 \log_{5} (x - 3) \cdot \frac{2}{2} + \log_{5} (x)$

Этап 15

Объединим $- 4 \log_{5} (x - 3)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 + \log_{5} (x + 1)}{2} + \frac{- 4 \log_{5} (x - 3) \cdot 2}{2} + \log_{5} (x)$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 + \log_{5} (x + 1) - 4 \log_{5} (x - 3) \cdot 2}{2} + \log_{5} (x)$

Этап 17

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{6 + \log_{5} (x + 1) - 8 \log_{5} (x - 3)}{2} + \log_{5} (x)$