Основы мат. анализа Примеры

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2} + 24 x + 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $24 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Этап 1.1.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Этап 1.1.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Этап 1.1.2

Разложим $x^{2} - 8 x + 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $7$ , а сумма — $- 8$ .

$- 7, - 1$

Этап 1.1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{(x - 7) (x - 1)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 7}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 7) (x - 1)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.6.2

Разделим $3 (- x^{2} + 8 x + 7)$ на $1$ .

$3 (- x^{2} + 8 x + 7) = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.8.2

Умножим $8$ на $3$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.8.3

Умножим $3$ на $7$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Сократим общий множитель $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{A (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.9.1.2

Разделим $(A) (x - 1)$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.9.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.9.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.9.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.5.1

Сократим общий множитель.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.9.5.2

Разделим $(B) (x - 7)$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + (B) (x - 7)$

Этап 1.9.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x + B \cdot - 7$

Этап 1.9.7

Перенесем $- 7$ влево от $B$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x - 7 B$

Этап 1.10

Перенесем $- A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + B x - A - 7 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$24 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$21 = - 1 A - 7 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $24 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 24$ .

$A + B = 24$

$21 = - 1 A - 7 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $24 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $21 = - 1 A - 7 B$ на $24 - B$ .

$21 = - 1 (24 - B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 1 (24 - B) - 7 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$21 = - 1 \cdot 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $24$ .

$21 = - 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$21 = - 24 + 1 B - 7 B$

$A = 24 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3.2

Умножим $B$ на $1$ .

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $7 B$ из $B$ .

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $21 = - 24 - 6 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 24 - 6 B = 21$ .

$- 24 - 6 B = 21$

$A = 24 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$- 6 B = 21 + 24$

$A = 24 - B$

Этап 3.3.2.2

Добавим $21$ и $24$ .

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 6 B = 45$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 6 B = 45$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Сократим общий множитель $45$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $45$ .

$B = \frac{3 (15)}{- 6}$

$A = 24 - B$

Этап 3.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

Этап 3.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

Этап 3.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

Этап 3.3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{15}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 24 - B$ на $- \frac{15}{2}$ .

$A = 24 - (- \frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $24 - (- \frac{15}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- (- \frac{15}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 24 + 1 (\frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $\frac{15}{2}$ на $1$ .

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Чтобы записать $24$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A = 24 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Объединим $24$ и $\frac{2}{2}$ .

$A = \frac{24 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Этап 3.4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{24 \cdot 2 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Этап 3.4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.1

Умножим $24$ на $2$ .

$A = \frac{48 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Этап 3.4.2.1.5.2

Добавим $48$ и $15$ .

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{63}{2}, B = - \frac{15}{2}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{63}{2}}{x - 7} + \frac{- \frac{15}{2}}{x - 1}$