Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (\frac{\sqrt{27 x^{5}}}{\sqrt[4]{9 y^{3}}})$

Этап 1

Перепишем $\log_{3} (\frac{\sqrt{27 x^{5}}}{\sqrt[4]{9 y^{3}}})$ в виде $\log_{3} (\sqrt{27 x^{5}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$ .

$\log_{3} (\sqrt{27 x^{5}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{27 x^{5}}$ в виде ${(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{9 y^{3}}$ в виде ${(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$

Этап 4

Развернем $\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - \log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$

Этап 5

Развернем $\log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$ , вынося $\frac{1}{4}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - (\frac{1}{4} \log_{3} (9 y^{3}))$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\log_{3} (9 y^{3})$ .

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Этап 7

Перепишем $\log_{3} (27 x^{5})$ в виде $\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{5})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{5})) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Этап 8

Развернем $\log_{3} (x^{5})$ , вынося $5$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (\log_{3} (27) + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Этап 9

Логарифм $27$ по основанию $3$ равен $3$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Этап 10

Перепишем $\log_{3} (9 y^{3})$ в виде $\log_{3} (9) + \log_{3} (y^{3})$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9) + \log_{3} (y^{3})}{4}$

Этап 11

Развернем $\log_{3} (y^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9) + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Этап 12

Логарифм $9$ по основанию $3$ равен $2$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Этап 13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} (5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Этап 13.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2} (5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Этап 13.3

Умножим $\frac{1}{2} (5 \log_{3} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{5}{2} \log_{3} (x) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Этап 13.3.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $\log_{3} (x)$ .

$\frac{3}{2} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Этап 14

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Этап 15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Этап 15.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 2 - (2 + 3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Этап 17

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 - (2 + 3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Этап 18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 - 1 \cdot 2 - (3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Этап 18.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{6 - 2 - (3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Этап 18.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{6 - 2 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Этап 18.4

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Этап 19

Чтобы записать $\frac{5 \log_{3} (x)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 20

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Умножим $\frac{5 \log_{3} (x)}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x) \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 20.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x) \cdot 2}{4}$

Этап 21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y) + 5 \log_{3} (x) \cdot 2}{4}$

Этап 22

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y) + 10 \log_{3} (x)}{4}$