Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (\frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{81 x^{5}})$

Этап 1

Перепишем $\log_{3} (\frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{81 x^{5}})$ в виде $\log_{3} (\sqrt{x^{2} + 9}) - \log_{3} (81 x^{5})$ .

$\log_{3} (\sqrt{x^{2} + 9}) - \log_{3} (81 x^{5})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 9}$ в виде ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (81 x^{5})$

Этап 3

Развернем $\log_{3} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 9) - \log_{3} (81 x^{5})$

Этап 4

Перепишем $\log_{3} (81 x^{5})$ в виде $\log_{3} (81) + \log_{3} (x^{5})$ .

$\frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 9) - (\log_{3} (81) + \log_{3} (x^{5}))$

Этап 5

Развернем $\log_{3} (x^{5})$ , вынося $5$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 9) - (\log_{3} (81) + 5 \log_{3} (x))$

Этап 6

Логарифм $81$ по основанию $3$ равен $4$ .

$\frac{1}{2} \log_{3} (x^{2} + 9) - (4 + 5 \log_{3} (x))$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{3} (x^{2} + 9)$ .

$\frac{\log_{3} (x^{2} + 9)}{2} - (4 + 5 \log_{3} (x))$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\log_{3} (x^{2} + 9)}{2} - 1 \cdot 4 - (5 \log_{3} (x))$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\log_{3} (x^{2} + 9)}{2} - 4 - (5 \log_{3} (x))$

Этап 7.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{\log_{3} (x^{2} + 9)}{2} - 4 - 5 \log_{3} (x)$

Этап 8

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{3} (x^{2} + 9)}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2} - 5 \log_{3} (x)$

Этап 9

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{3} (x^{2} + 9)}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 5 \log_{3} (x)$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log_{3} (x^{2} + 9) - 4 \cdot 2}{2} - 5 \log_{3} (x)$

Этап 11

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{\log_{3} (x^{2} + 9) - 8}{2} - 5 \log_{3} (x)$