Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (\sqrt[3]{\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)}}$ в виде ${(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{4} ({(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 2

Развернем $\log_{4} ({(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\frac{1}{3} \log_{4} (\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{3} \log_{4} (\frac{16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$

Этап 4

Перепишем $\log_{4} (\frac{16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$ в виде $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3))$ .

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Этап 5

Перепишем $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})$ в виде $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6})$ .

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Этап 6

Перепишем $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2})$ в виде $\log_{4} (16) + \log_{4} ({(x - 3)}^{2})$ .

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + \log_{4} ({(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Этап 7

Развернем $\log_{4} ({(x - 3)}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + 2 \log_{4} (x - 3) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Этап 8

Развернем $\log_{4} ({(x + 5)}^{6})$ , вынося $6$ из логарифма.

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Этап 9

Логарифм $16$ по основанию $4$ равен $2$ .

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Этап 10

Перепишем $\log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3))$ в виде $\log_{4} ({(x - 1)}^{2}) + \log_{4} (x + 3)$ .

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (\log_{4} ({(x - 1)}^{2}) + \log_{4} (x + 3)))$

Этап 11

Развернем $\log_{4} ({(x - 1)}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (2 \log_{4} (x - 1) + \log_{4} (x + 3)))$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (2 \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3))$

Этап 12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - 2 \log_{4} (x - 1) - \log_{4} (x + 3))$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3)) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3)) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Этап 14.2

Умножим $\frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \log_{4} (x - 3) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Этап 14.2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\log_{4} (x - 3)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6 \log_{4} (x + 5)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (3 (2 \log_{4} (x + 5))) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Этап 14.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (3 (2 \log_{4} (x + 5))) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Этап 14.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Этап 14.4

Умножим $\frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2}{3} \log_{4} (x - 1) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Этап 14.4.2

Объединим $\frac{- 2}{3}$ и $\log_{4} (x - 1)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2 \log_{4} (x - 1)}{3} + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Этап 14.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\log_{4} (x + 3)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 17

Вынесем множитель $2$ из $2 + 2 \log_{4} (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 17.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 18

Чтобы записать $2 \log_{4} (x + 5)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 19

Объединим $2 \log_{4} (x + 5)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + \frac{2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 (\log_{4} (x + 5) \cdot 3)}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 21.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 (\log_{4} (x + 5) \cdot 3)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + \log_{4} (x + 5) \cdot 3)}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 21.2

Перенесем $3$ влево от $\log_{4} (x + 5)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5))}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) - 2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 23

Вынесем множитель $2$ из $2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) - 2 \log_{4} (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \log_{4} (x - 1)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1))}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 23.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1))$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} (x - 1))}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3) + 2 (3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 25.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 2 (3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 25.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Этап 25.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - 2 \log_{4} (x - 1) - \log_{4} (x + 3)}{3}$