Основы мат. анализа Примеры

$\frac{- x + 6}{x - 8} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$- x + 6 = 0$

$x - 8 = 0$

Этап 2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 6$

Этап 3

Разделим каждый член $- x = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- x = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$x = 6$

Этап 4

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 6$

$x = 8$

Этап 6

Объединим решения.

$x = 6, 8$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{- x + 6}{x - 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{- x + 6}{x - 8}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 8 = 0$

Этап 7.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 6$

$6 < x < 8$

$x > 8$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{- (0) + 6}{(0) - 8} \geq 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 0.75$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $6 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $6 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

$\frac{- (7) + 6}{(7) - 8} \geq 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{- (10) + 6}{(10) - 8} \geq 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 6$ Ложь

$6 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

$x < 6$ Ложь

$6 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$6 \leq x < 8$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[6, 8)$

Этап 12