Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}})$

Этап 1

Умножим $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt[3]{6}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Этап 2.1.2

Возведем $\sqrt[3]{6}$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}})$

Этап 2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}})$

Этап 2.1.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}})$

Этап 2.1.5

Перепишем ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{6}$ в виде $6^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Этап 2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Этап 2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Этап 2.1.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}})$

Этап 2.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}})$

Этап 2.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\ln (\frac{3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6})$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}$ .

$\ln (\frac{3 (\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{6})$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\ln (\frac{3 (\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{3 \cdot 2})$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{3 (\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2})}{3 \cdot 2})$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{\sqrt{5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{2})$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{5} \sqrt[3]{6^{2}}}{2})$

Этап 3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt{5} \sqrt[3]{36}}{2})$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{36}}{2})$

Этап 4.1.2

Перепишем $5^{\frac{1}{2}}$ в виде $5^{\frac{3}{6}}$ .

$\ln (\frac{5^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{36}}{2})$

Этап 4.1.3

Перепишем $5^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{5^{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \sqrt[3]{36}}{2})$

Этап 4.1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{36}$ в виде $36^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \cdot 36^{\frac{1}{3}}}{2})$

Этап 4.1.5

Перепишем $36^{\frac{1}{3}}$ в виде $36^{\frac{2}{6}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \cdot 36^{\frac{2}{6}}}{2})$

Этап 4.1.6

Перепишем $36^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{36^{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3}} \sqrt[6]{36^{2}}}{2})$

Этап 4.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\ln (\frac{\sqrt[6]{5^{3} \cdot 36^{2}}}{2})$

Этап 4.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{125 \cdot 36^{2}}}{2})$

Этап 4.4

Возведем $36$ в степень $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{125 \cdot 1296}}{2})$

Этап 5

Умножим $125$ на $1296$ .

$\ln (\frac{\sqrt[6]{162000}}{2})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\frac{\sqrt[6]{162000}}{2})$

Десятичная форма:

$1.30607808 \dots$