Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x - \frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1})$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - \frac{1}{x}) \frac{x}{x + 1})$

Этап 2

Умножим $x - \frac{1}{x}$ на $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{(x - \frac{1}{x}) x}{x + 1})$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\ln (\frac{(\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}) x}{x + 1})$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (\frac{\frac{x \cdot x - 1}{x} x}{x + 1})$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{1} x - 1}{x} x}{x + 1})$

Этап 3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{1} x^{1} - 1}{x} x}{x + 1})$

Этап 3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{\frac{x^{1 + 1} - 1}{x} x}{x + 1})$

Этап 3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} - 1}{x} x}{x + 1})$

Этап 3.3.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} x}{x + 1})$

Этап 3.3.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} x}{x + 1})$

Этап 4

Объединим $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$ и $x$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}}{x + 1})$

Этап 5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим выражение $\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}}{x + 1})$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{1}}{x + 1})$

Этап 5.2

Разделим $(x + 1) (x - 1)$ на $1$ .

$\ln (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1})$

Этап 6

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1})$

Этап 6.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$\ln (x - 1)$