Основы мат. анализа Примеры

$\log (x^{2} - 4) - \log (x^{2} + 9 x + 14)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14})$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 2^{2}}{x^{2} + 9 x + 14})$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 9 x + 14})$

Этап 3

Разложим $x^{2} + 9 x + 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $14$ , а сумма — $9$ .

$2, 7$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)})$

Этап 4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)})$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{x - 2}{x + 7})$