Основы мат. анализа Примеры

$\log (a^{2} - 10 a - 11) - \log (a^{2} - 1)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{a^{2} - 10 a - 11}{a^{2} - 1})$

Этап 2

Разложим $a^{2} - 10 a - 11$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 11$ , а сумма — $- 10$ .

$- 11, 1$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\log (\frac{(a - 11) (a + 1)}{a^{2} - 1})$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log (\frac{(a - 11) (a + 1)}{a^{2} - 1^{2}})$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 1$ .

$\log (\frac{(a - 11) (a + 1)}{(a + 1) (a - 1)})$

Этап 4

Сократим общий множитель $a + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\log (\frac{(a - 11) (a + 1)}{(a + 1) (a - 1)})$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{a - 11}{a - 1})$