Основы мат. анализа Примеры

$\log_{a} ({(\frac{5 x^{2} \sqrt[3]{1 - 4 x}}{7 {(x + 1)}^{2}})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{1 - 4 x}$ в виде ${(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{a} ({(\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 2

Развернем $\log_{a} ({(\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})}^{\frac{3}{2}})$ , вынося $\frac{3}{2}$ из логарифма.

$\frac{3}{2} \log_{a} (\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})$

Этап 3

Перепишем $\log_{a} (\frac{5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}}{7 {(x + 1)}^{2}})$ в виде $\log_{a} (5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Этап 4

Перепишем $\log_{a} (5 x^{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$ в виде $\log_{a} (5 x^{2}) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5 x^{2}) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Этап 5

Перепишем $\log_{a} (5 x^{2})$ в виде $\log_{a} (5) + \log_{a} (x^{2})$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + \log_{a} (x^{2}) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Этап 6

Развернем $\log_{a} (x^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Этап 7

Развернем $\log_{a} ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{1}{3} \log_{a} (1 - 4 x) - \log_{a} (7 {(x + 1)}^{2}))$

Этап 8

Перепишем $\log_{a} (7 {(x + 1)}^{2})$ в виде $\log_{a} (7) + \log_{a} ({(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{1}{3} \log_{a} (1 - 4 x) - (\log_{a} (7) + \log_{a} ({(x + 1)}^{2})))$

Этап 9

Развернем $\log_{a} ({(x + 1)}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{1}{3} \log_{a} (1 - 4 x) - (\log_{a} (7) + 2 \log_{a} (x + 1)))$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\log_{a} (1 - 4 x)$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - (\log_{a} (7) + 2 \log_{a} (x + 1)))$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - (2 \log_{a} (x + 1)))$

Этап 10.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\log_{a} (5) + 2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Этап 11

Чтобы записать $\log_{a} (5)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \log_{a} (5) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Этап 12

Объединим $\log_{a} (5)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (5) \cdot 3}{3} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Этап 13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{\log_{a} (5) \cdot 3 + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Этап 14

Перенесем $3$ влево от $\log_{a} (5)$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} - \log_{a} (7) - 2 \log_{a} (x + 1))$

Этап 15

Чтобы записать $- 2 \log_{a} (x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} - 2 \log_{a} (x + 1) \cdot \frac{3}{3} - \log_{a} (7))$

Этап 16

Объединим $- 2 \log_{a} (x + 1)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{3} + \frac{- 2 \log_{a} (x + 1) \cdot 3}{3} - \log_{a} (7))$

Этап 17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 2 \log_{a} (x + 1) \cdot 3}{3} - \log_{a} (7))$

Этап 18

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} - \log_{a} (7))$

Этап 19

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x)) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \log_{a} (x)$ .

$\frac{3}{2} (2 (\log_{a} (x))) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Этап 20.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} (2 \log_{a} (x)) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Этап 20.1.3

Перепишем это выражение.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Этап 20.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{3} + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Этап 20.2.2

Перепишем это выражение.

$3 \log_{a} (x) + \frac{1}{2} (3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)) + \frac{3}{2} (- \log_{a} (7))$

Этап 20.3

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\log_{a} (7)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{1}{2} (3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \log_{a} (x) + \frac{1}{2} (3 \log_{a} (5)) + \frac{1}{2} \log_{a} (1 - 4 x) + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Умножим $\frac{1}{2} (3 \log_{a} (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3}{2} \log_{a} (5) + \frac{1}{2} \log_{a} (1 - 4 x) + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.2.1.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\log_{a} (5)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} (1 - 4 x) + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{a} (1 - 4 x)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{1}{2} (- 6 \log_{a} (x + 1)) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 \log_{a} (x + 1)$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3 \log_{a} (x + 1))) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.2.3.2

Сократим общий множитель.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3 \log_{a} (x + 1))) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.2.3.3

Перепишем это выражение.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5)}{2} + \frac{\log_{a} (1 - 4 x)}{2} - 3 \log_{a} (x + 1) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{2} - 3 \log_{a} (x + 1) - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.4

Чтобы записать $- 3 \log_{a} (x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{2} - 3 \log_{a} (x + 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.5

Объединим $- 3 \log_{a} (x + 1)$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x)}{2} + \frac{- 3 \log_{a} (x + 1) \cdot 2}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 3 \log_{a} (x + 1) \cdot 2}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$

Этап 21.7

Умножим $2$ на $- 3$ .

$3 \log_{a} (x) + \frac{3 \log_{a} (5) + \log_{a} (1 - 4 x) - 6 \log_{a} (x + 1)}{2} - \frac{3 \log_{a} (7)}{2}$