Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (\frac{16 x^{4} (\sqrt[3]{x - 8})}{7 {(x + 5)}^{4}})$

Этап 1

Перепишем $\log_{2} (\frac{16 x^{4} (\sqrt[3]{x - 8})}{7 {(x + 5)}^{4}})$ в виде $\log_{2} (16 x^{4} (\sqrt[3]{x - 8})) - \log_{2} (7 {(x + 5)}^{4})$ .

$\log_{2} (16 x^{4} (\sqrt[3]{x - 8})) - \log_{2} (7 {(x + 5)}^{4})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 8}$ в виде ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (16 x^{4} {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{2} (7 {(x + 5)}^{4})$

Этап 3

Перепишем $\log_{2} (16 x^{4} {(x - 8)}^{\frac{1}{3}})$ в виде $\log_{2} (16 x^{4}) + \log_{2} ({(x - 8)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\log_{2} (16 x^{4}) + \log_{2} ({(x - 8)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{2} (7 {(x + 5)}^{4})$

Этап 4

Перепишем $\log_{2} (16 x^{4})$ в виде $\log_{2} (16) + \log_{2} (x^{4})$ .

$\log_{2} (16) + \log_{2} (x^{4}) + \log_{2} ({(x - 8)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{2} (7 {(x + 5)}^{4})$

Этап 5

Развернем $\log_{2} (x^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\log_{2} (16) + 4 \log_{2} (x) + \log_{2} ({(x - 8)}^{\frac{1}{3}}) - \log_{2} (7 {(x + 5)}^{4})$

Этап 6

Развернем $\log_{2} ({(x - 8)}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\log_{2} (16) + 4 \log_{2} (x) + \frac{1}{3} \log_{2} (x - 8) - \log_{2} (7 {(x + 5)}^{4})$

Этап 7

Логарифм $16$ по основанию $2$ равен $4$ .

$4 + 4 \log_{2} (x) + \frac{1}{3} \log_{2} (x - 8) - \log_{2} (7 {(x + 5)}^{4})$

Этап 8

Перепишем $\log_{2} (7 {(x + 5)}^{4})$ в виде $\log_{2} (7) + \log_{2} ({(x + 5)}^{4})$ .

$4 + 4 \log_{2} (x) + \frac{1}{3} \log_{2} (x - 8) - (\log_{2} (7) + \log_{2} ({(x + 5)}^{4}))$

Этап 9

Развернем $\log_{2} ({(x + 5)}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$4 + 4 \log_{2} (x) + \frac{1}{3} \log_{2} (x - 8) - (\log_{2} (7) + 4 \log_{2} (x + 5))$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\log_{2} (x - 8)$ .

$4 + 4 \log_{2} (x) + \frac{\log_{2} (x - 8)}{3} - (\log_{2} (7) + 4 \log_{2} (x + 5))$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 + 4 \log_{2} (x) + \frac{\log_{2} (x - 8)}{3} - \log_{2} (7) - (4 \log_{2} (x + 5))$

Этап 10.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 + 4 \log_{2} (x) + \frac{\log_{2} (x - 8)}{3} - \log_{2} (7) - 4 \log_{2} (x + 5)$

Этап 11

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 \log_{2} (x) + 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{\log_{2} (x - 8)}{3} - \log_{2} (7) - 4 \log_{2} (x + 5)$

Этап 12

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$4 \log_{2} (x) + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{\log_{2} (x - 8)}{3} - \log_{2} (7) - 4 \log_{2} (x + 5)$

Этап 13

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \log_{2} (x) + \frac{4 \cdot 3 + \log_{2} (x - 8)}{3} - \log_{2} (7) - 4 \log_{2} (x + 5)$

Этап 14

Умножим $4$ на $3$ .

$4 \log_{2} (x) + \frac{12 + \log_{2} (x - 8)}{3} - \log_{2} (7) - 4 \log_{2} (x + 5)$

Этап 15

Чтобы записать $- 4 \log_{2} (x + 5)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 \log_{2} (x) + \frac{12 + \log_{2} (x - 8)}{3} - 4 \log_{2} (x + 5) \cdot \frac{3}{3} - \log_{2} (7)$

Этап 16

Объединим $- 4 \log_{2} (x + 5)$ и $\frac{3}{3}$ .

$4 \log_{2} (x) + \frac{12 + \log_{2} (x - 8)}{3} + \frac{- 4 \log_{2} (x + 5) \cdot 3}{3} - \log_{2} (7)$

Этап 17

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \log_{2} (x) + \frac{12 + \log_{2} (x - 8) - 4 \log_{2} (x + 5) \cdot 3}{3} - \log_{2} (7)$

Этап 18

Умножим $3$ на $- 4$ .

$4 \log_{2} (x) + \frac{12 + \log_{2} (x - 8) - 12 \log_{2} (x + 5)}{3} - \log_{2} (7)$