Основы мат. анализа Примеры

$x - \frac{15}{x} < - 2$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2

Каждый член в $x - \frac{15}{x} < - 2$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $x - \frac{15}{x} < - 2$ на $x$ .

$x \cdot x - \frac{15}{x} x < - 2 x$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - \frac{15}{x} x < - 2 x$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{15}{x}$ в числитель.

$x^{2} + \frac{- 15}{x} x < - 2 x$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{- 15}{x} x < - 2 x$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 15 < - 2 x$

Этап 3

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $2 x$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} - 15 + 2 x < 0$

Этап 3.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 15 + 2 x = 0$

Этап 3.3

Разложим $x^{2} - 15 + 2 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 3, - 5$

Этап 4

Найдем область определения $x - \frac{15}{x} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{15}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$(- 8) - \frac{15}{- 8} < - 2$

Этап 6.1.3

Левая часть $- 6.125$ меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) - \frac{15}{- 2} < - 2$

Этап 6.2.3

Левая часть $5.5$ не меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(2) - \frac{15}{2} < - 2$

Этап 6.3.3

Левая часть $- 5.5$ меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(6) - \frac{15}{6} < - 2$

Этап 6.4.3

Левая часть $3.5$ не меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 5$ или $0 < x < 3$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 3)$

Этап 9