Основы мат. анализа Примеры

$\ln (e^{3 x}) - \ln (e^{2}) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{e^{3 x}}{e^{2}}) = 2$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{e^{3 x}}{e^{2}}$ в виде $e^{3 x} {(e^{2})}^{- 1}$ .

$\ln (e^{3 x} {(e^{2})}^{- 1}) = 2$

Этап 1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (e^{3 x} e^{2 \cdot - 1}) = 2$

Этап 1.4

Перепишем $\ln (e^{3 x} e^{2 \cdot - 1})$ в виде $\ln (e^{3 x}) + \ln (e^{2 \cdot - 1})$ .

$\ln (e^{3 x}) + \ln (e^{2 \cdot - 1}) = 2$

Этап 1.5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $3 x$ из степени.

$3 x \ln (e) + \ln (e^{2 \cdot - 1}) = 2$

Этап 1.6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$3 x \cdot 1 + \ln (e^{2 \cdot - 1}) = 2$

Этап 1.7

Умножим $3$ на $1$ .

$3 x + \ln (e^{2 \cdot - 1}) = 2$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2 \cdot - 1$ из степени.

$3 x + 2 \cdot (- 1 \ln (e)) = 2$

Этап 1.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 x - 2 \ln (e) = 2$

Этап 1.8.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$3 x - 2 \cdot 1 = 2$

Этап 1.8.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$3 x - 2 = 2$

Этап 2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2 + 2$

Этап 2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$3 x = 4$

Этап 3

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$x = 1.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{1}{3}$