Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x + 9) + \ln (x - 9) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 9) (x - 9)) = 0$

Этап 1.2

Развернем $(x + 9) (x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (x - 9) + 9 (x - 9)) = 0$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 (x - 9)) = 0$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 x + 9 \cdot - 9) = 0$

Этап 1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 x + 9 \cdot - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 9$ и $9 x$ .

$\ln (x \cdot x - 9 x + 9 x + 9 \cdot - 9) = 0$

Этап 1.3.1.2

Добавим $- 9 x$ и $9 x$ .

$\ln (x \cdot x + 0 + 9 \cdot - 9) = 0$

Этап 1.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\ln (x \cdot x + 9 \cdot - 9) = 0$

Этап 1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + 9 \cdot - 9) = 0$

Этап 1.3.2.2

Умножим $9$ на $- 9$ .

$\ln (x^{2} - 81) = 0$

Этап 2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} - 81)} = e^{0}$

Этап 3

Перепишем $\ln (x^{2} - 81) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{2} - 81$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 81 = e^{0}$ .

$x^{2} - 81 = e^{0}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} - 81 = 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $81$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1 + 81$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ и $81$ .

$x^{2} = 82$

Этап 4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{82}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{82}$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{82}$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{82}, - \sqrt{82}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x + 9) + \ln (x - 9) = 0$ истинным.

$x = \sqrt{82}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{82}$

Десятичная форма:

$x = 9.05538513 \dots$