Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to - 5} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 5} 2 x + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - 5} 2 x + lim_{x \to - 5} 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 5} x + lim_{x \to - 5} 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 5} x + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{- 10 + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 1.1.2.3.2

Добавим $- 10$ и $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 5} x^{2} + lim_{x \to - 5} 2 x - lim_{x \to - 5} 15}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + lim_{x \to - 5} 2 x - lim_{x \to - 5} 15}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 15}$

Этап 1.1.3.4

Найдем предел $15$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 5$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 15}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 2 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 15}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 2 \cdot - 5 - 1 \cdot 15}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{0}{25 + 2 \cdot - 5 - 1 \cdot 15}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{0}{25 - 10 - 1 \cdot 15}$

Этап 1.1.3.6.1.3

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\frac{0}{25 - 10 - 15}$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $10$ из $25$ .

$\frac{0}{15 - 15}$

Этап 1.1.3.6.3

Вычтем $15$ из $15$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 5} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 2 x - 15} = lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x - 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2$ и $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 x + 2}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x) + 2}$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x) + 2 (1)}$

Этап 1.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x + 1)}$

Этап 1.4.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x + 1)}$

Этап 1.4.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 5} \frac{1}{x + 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - 5} 1}{lim_{x \to - 5} x + 1}$

Этап 2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 5} x + 1}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 5} x + lim_{x \to - 5} 1}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 5} x + 1}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{1}{- 5 + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $- 5$ и $1$ .

$\frac{1}{- 4}$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.25$