Основы мат. анализа Примеры

$\log (x^{2} - 1) - \log (12) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1}{12}) = 1$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{12}) = 1$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $12$ .

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим $12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(x + 1) (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.1.1.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Move the decimal point in $12$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$x^{2} - 1 = 1.2 \cdot 10^{2}$

Этап 3.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1$

Этап 3.4.2

Convert $1$ to scientific notation.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1 \cdot 10^{0}$

Этап 3.4.3

Move the decimal point in $1$ to the left by $2$ places and increase the power of $10^{0}$ by $2$ .

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $10^{2}$ из $1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$ .

$x^{2} = (1.2 + 0.01) \cdot 10^{2}$

Этап 3.4.5

Добавим $1.2$ и $0.01$ .

$x^{2} = 1.21 \cdot 10^{2}$

Этап 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$

Этап 3.6

Упростим $\pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем $\sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ в виде $\sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$ .

$x = \pm \sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$

Этап 3.6.2

Найдем значение корня.

$x = \pm 1.1 \cdot \sqrt{10^{2}}$

Этап 3.6.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 1.1 \cdot 10$

Этап 3.6.4

Возведем $10$ в степень $1$ .

$x = \pm 1.1 \cdot 10^{1}$

Этап 3.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1.1 \cdot 10^{1}$

Этап 3.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1.1 \cdot 10^{1}$

Этап 3.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Экспоненциальное представление:

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

Развернутая форма:

$x = 11, - 11$