Основы мат. анализа Примеры

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5 + 0$

Этап 2

Добавим $5$ и $0$ .

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Упростим $4 \log_{3} (2 x)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\log_{3} ({(2 x)}^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Этап 3.1.1.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\log_{3} (2^{4} x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Этап 3.1.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\log_{3} (16 x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Этап 3.1.1.4

Упростим $8 \log_{3} (x)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\log_{3} (16 x^{4}) + \log_{3} (x^{8}) = 5$

Этап 3.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (16 x^{4} x^{8}) = 5$

Этап 3.1.3

Умножим $x^{4}$ на $x^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Перенесем $x^{8}$ .

$\log_{3} (16 (x^{8} x^{4})) = 5$

Этап 3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{3} (16 x^{8 + 4}) = 5$

Этап 3.1.3.3

Добавим $8$ и $4$ .

$\log_{3} (16 x^{12}) = 5$

Этап 4

Перепишем $\log_{3} (16 x^{12}) = 5$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{5} = 16 x^{12}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $16 x^{12} = 3^{5}$ .

$16 x^{12} = 3^{5}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $16 x^{12} = 3^{5}$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $16 x^{12} = 3^{5}$ на $16$ .

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x^{12}$ на $1$ .

$x^{12} = \frac{3^{5}}{16}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$x^{12} = \frac{243}{16}$

Этап 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$

Этап 5.4

Упростим $\pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $\sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$

Этап 5.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{2^{4}}}$

Этап 5.4.2.2

Перепишем $\sqrt[12]{2^{4}}$ в виде $\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}}$

Этап 5.4.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 5.4.3

Умножим $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 5.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 5.4.4.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 5.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Этап 5.4.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Этап 5.4.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.4.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.4.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.4.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.4.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Этап 5.4.4.5.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Этап 5.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Этап 5.4.5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{4}}{2}$

Этап 5.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Этап 5.4.6.1.2

Перепишем $4^{\frac{1}{3}}$ в виде $4^{\frac{4}{12}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{4}{12}}}{2}$

Этап 5.4.6.1.3

Перепишем $4^{\frac{4}{12}}$ в виде $\sqrt[12]{4^{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[12]{4^{4}}}{2}$

Этап 5.4.6.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 4^{4}}}{2}$

Этап 5.4.6.3

Возведем $4$ в степень $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 256}}{2}$

Этап 5.4.7

Умножим $243$ на $256$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Этап 5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Этап 5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Этап 5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}, - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$ истинным.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.25446107 \dots$