Основы мат. анализа Примеры

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{\log_{2} (25)}{2} = 3$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\log_{2} (25)$ в виде $\log_{2} (5^{2})$ .

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{\log_{2} (5^{2})}{2} = 3$

Этап 1.2

Развернем $\log_{2} (5^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{2 \log_{2} (5)}{2} = 3$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{2 \log_{2} (5)}{2} = 3$

Этап 1.3.2

Разделим $\log_{2} (5)$ на $1$ .

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим $3 \log_{2} (\sqrt{x})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{2} ({\sqrt{x}}^{3}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Этап 2.1.1.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{3}$ в виде $\sqrt{x^{3}}$ .

$\log_{2} (\sqrt{x^{3}}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Этап 2.1.1.3

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$\log_{2} (\sqrt{x^{2} x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Этап 2.1.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log_{2} (x \sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x \sqrt{x}}{x + 1}) + \log_{2} (5) = 3$

Этап 2.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (\frac{x \sqrt{x}}{x + 1} \cdot 5) = 3$

Этап 2.1.4

Объединим $\frac{x \sqrt{x}}{x + 1}$ и $5$ .

$\log_{2} (\frac{x \sqrt{x} \cdot 5}{x + 1}) = 3$

Этап 2.1.5

Перенесем $5$ влево от $x \sqrt{x}$ .

$\log_{2} (\frac{5 x \sqrt{x}}{x + 1}) = 3$

Этап 3

Перепишем $\log_{2} (\frac{5 x \sqrt{x}}{x + 1}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{5 x \sqrt{x}}{x + 1}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$5 x \sqrt{x} = 2^{3} (x + 1)$

Этап 5

Упростим $2^{3} (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$5 x \sqrt{x} = 8 (x + 1)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \sqrt{x} = 8 x + 8 \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим $8$ на $1$ .

$5 x \sqrt{x} = 8 x + 8$

Этап 6

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$5 x \sqrt{x} - 8 x = 8$

Этап 7

Вынесем множитель $x$ из $5 x \sqrt{x} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x \sqrt{x}$ .

$x (5 \sqrt{x}) - 8 x = 8$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$x (5 \sqrt{x}) + x \cdot - 8 = 8$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $x (5 \sqrt{x}) + x \cdot - 8$ .

$x (5 \sqrt{x} - 8) = 8$

Этап 8

Решим относительно $5 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x (5 \sqrt{x} - 8) = 8$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Разделим каждый член $x (5 \sqrt{x} - 8) = 8$ на $x$ .

$\frac{x (5 \sqrt{x} - 8)}{x} = \frac{8}{x}$

Этап 8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (5 \sqrt{x} - 8)}{x} = \frac{8}{x}$

Этап 8.1.2.1.2

Разделим $5 \sqrt{x} - 8$ на $1$ .

$5 \sqrt{x} - 8 = \frac{8}{x}$

Этап 8.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$5 \sqrt{x} = \frac{8}{x} + 8$

Этап 9

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(5 \sqrt{x})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Этап 10

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим ${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Этап 10.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Этап 10.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Этап 10.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Этап 10.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$25 x^{1} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Этап 10.2.1.4

Упростим.

$25 x = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Этап 10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим ${(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Перепишем ${(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$ в виде $(\frac{8}{x} + 8) (\frac{8}{x} + 8)$ .

$25 x = (\frac{8}{x} + 8) (\frac{8}{x} + 8)$

Этап 10.3.1.2

Развернем $(\frac{8}{x} + 8) (\frac{8}{x} + 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x = \frac{8}{x} (\frac{8}{x} + 8) + 8 (\frac{8}{x} + 8)$

Этап 10.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x = \frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 (\frac{8}{x} + 8)$

Этап 10.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$25 x = \frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.1.1

Умножим $\frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.1.1.1

Умножим $\frac{8}{x}$ на $\frac{8}{x}$ .

$25 x = \frac{8 \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3.1.1.2

Умножим $8$ на $8$ .

$25 x = \frac{64}{x \cdot x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$25 x = \frac{64}{x^{1} x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$25 x = \frac{64}{x^{1} x^{1}} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 x = \frac{64}{x^{1 + 1}} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3.1.2

Умножим $\frac{8}{x} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.1.2.1

Объединим $\frac{8}{x}$ и $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{8 \cdot 8}{x} + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3.1.2.2

Умножим $8$ на $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3.1.3

Умножим $8 \frac{8}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.1.3.1

Объединим $8$ и $\frac{8}{x}$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + \frac{8 \cdot 8}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3.1.3.2

Умножим $8$ на $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + \frac{64}{x} + 8 \cdot 8$

Этап 10.3.1.3.1.4

Умножим $8$ на $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + \frac{64}{x} + 64$

Этап 10.3.1.3.2

Добавим $\frac{64}{x}$ и $\frac{64}{x}$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + 2 \frac{64}{x} + 64$

Этап 10.3.1.4

Умножим $2 \frac{64}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{64}{x}$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{2 \cdot 64}{x} + 64$

Этап 10.3.1.4.2

Умножим $2$ на $64$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{128}{x} + 64$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2}, x, 1$

Этап 11.1.2

Since $1, x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Этап 11.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 11.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 11.1.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 11.1.6

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 11.1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 11.1.8

НОК $x^{2}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 11.1.9

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 11.2

Каждый член в $25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{128}{x} + 64$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим каждый член $25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{128}{x} + 64$ на $x^{2}$ .

$25 x \cdot x^{2} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Этап 11.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$25 (x^{2} x) = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Этап 11.2.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$25 (x^{2} x^{1}) = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Этап 11.2.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 x^{2 + 1} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Этап 11.2.2.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$25 x^{3} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Этап 11.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$25 x^{3} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Этап 11.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$25 x^{3} = 64 + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Этап 11.2.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$25 x^{3} = 64 + \frac{128}{x} (x \cdot x) + 64 x^{2}$

Этап 11.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$25 x^{3} = 64 + \frac{128}{x} (x \cdot x) + 64 x^{2}$

Этап 11.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$25 x^{3} = 64 + 128 x + 64 x^{2}$

Этап 11.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$25 x^{3} - 64 = 128 x + 64 x^{2}$

Этап 11.3.1.2

Вычтем $128 x$ из обеих частей уравнения.

$25 x^{3} - 64 - 128 x = 64 x^{2}$

Этап 11.3.1.3

Вычтем $64 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$25 x^{3} - 64 - 128 x - 64 x^{2} = 0$

Этап 11.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Изменим порядок членов.

$25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64 = 0$

Этап 11.3.2.2

Разложим $25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Этап 11.3.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 64, \pm 2.56, \pm 12.8, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 32, \pm 1.28, \pm 6.4, \pm 4, \pm 0.16, \pm 0.8, \pm 16, \pm 0.64, \pm 3.2, \pm 8, \pm 0.32, \pm 1.6$

Этап 11.3.2.2.3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$25 \cdot 4^{3} - 64 \cdot 4^{2} - 128 \cdot 4 - 64$

Этап 11.3.2.2.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$25 \cdot 64 - 64 \cdot 4^{2} - 128 \cdot 4 - 64$

Этап 11.3.2.2.3.3

Умножим $25$ на $64$ .

$1600 - 64 \cdot 4^{2} - 128 \cdot 4 - 64$

Этап 11.3.2.2.3.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$1600 - 64 \cdot 16 - 128 \cdot 4 - 64$

Этап 11.3.2.2.3.5

Умножим $- 64$ на $16$ .

$1600 - 1024 - 128 \cdot 4 - 64$

Этап 11.3.2.2.3.6

Вычтем $1024$ из $1600$ .

$576 - 128 \cdot 4 - 64$

Этап 11.3.2.2.3.7

Умножим $- 128$ на $4$ .

$576 - 512 - 64$

Этап 11.3.2.2.3.8

Вычтем $512$ из $576$ .

$64 - 64$

Этап 11.3.2.2.3.9

Вычтем $64$ из $64$ .

$0$

Этап 11.3.2.2.4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64}{x - 4}$

Этап 11.3.2.2.5

Разделим $25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64$ на $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$25 x^{3}$

$64 x^{2}$

$128 x$

$64$

Этап 11.3.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $25 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$25 x^{2}$
	$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$

Этап 11.3.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			+	$25 x^{3}$	-	$100 x^{2}$

Этап 11.3.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $25 x^{3} - 100 x^{2}$ .

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$

Этап 11.3.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$

Этап 11.3.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$

Этап 11.3.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $36 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$

Этап 11.3.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					+	$36 x^{2}$	-	$144 x$

Этап 11.3.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $36 x^{2} - 144 x$ .

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$

Этап 11.3.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$

Этап 11.3.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Этап 11.3.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Этап 11.3.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

Этап 11.3.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x - 64$ .

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

Этап 11.3.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$
										$0$

Этап 11.3.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$25 x^{2} + 36 x + 16$

Этап 11.3.2.2.6

Запишем $25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64$ в виде набора множителей.

$(x - 4) (25 x^{2} + 36 x + 16) = 0$

Этап 11.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$25 x^{2} + 36 x + 16 = 0$

Этап 11.3.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 11.3.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 11.3.5

Приравняем $25 x^{2} + 36 x + 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Приравняем $25 x^{2} + 36 x + 16$ к $0$ .

$25 x^{2} + 36 x + 16 = 0$

Этап 11.3.5.2

Решим $25 x^{2} + 36 x + 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11.3.5.2.2

Подставим значения $a = 25$ , $b = 36$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 16)}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.2.3.1.1

Возведем $36$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 25 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 25 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 100 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 100$ на $16$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 1600}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.1.3

Вычтем $1600$ из $1296$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{- 304}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.1.4

Перепишем $- 304$ в виде $- 1 (304)$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 304}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (304)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{304}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{304}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot \sqrt{304}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.1.7

Перепишем $304$ в виде $4^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $304$ .

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot \sqrt{16 (19)}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot (4 \sqrt{19})}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 36 \pm 4 i \sqrt{19}}{2 \cdot 25}$

Этап 11.3.5.2.3.2

Умножим $2$ на $25$ .

$x = \frac{- 36 \pm 4 i \sqrt{19}}{50}$

Этап 11.3.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 36 \pm 4 i \sqrt{19}}{50}$ .

$x = \frac{- 18 \pm 2 i \sqrt{19}}{25}$

Этап 11.3.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{18 - 2 i \sqrt{19}}{25}, - \frac{18 + 2 i \sqrt{19}}{25}$

Этап 11.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (25 x^{2} + 36 x + 16) = 0$ верно.

$x = 4, - \frac{18 - 2 i \sqrt{19}}{25}, - \frac{18 + 2 i \sqrt{19}}{25}$