Основы мат. анализа Примеры

$2 \log (x - 1) = \log (x + 1)$

Этап 1

Упростим $2 \log (x - 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log ({(x - 1)}^{2}) = \log (x + 1)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

${(x - 1)}^{2} = x + 1$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

${(x - 1)}^{2} - x = 1$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) - x = 1$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - x = 1$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - x = 1$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 1$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 1$

Этап 3.1.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 1$

Этап 3.1.2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 1$

Этап 3.1.2.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - x = 1$

Этап 3.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - x = 1$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

Этап 3.1.3

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

Этап 3.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 3 x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $x^{2} - 3 x$ и $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $2 \log (x - 1) = \log (x + 1)$ истинным.

$x = 3$