Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x + 3) = 4 + \log_{5} (x - 5)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{5} (x + 3) - \log_{5} (x - 5) = 4$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x + 3}{x - 5}) = 4$

Этап 3

Перепишем $\log_{5} (\frac{x + 3}{x - 5}) = 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{4} = \frac{x + 3}{x - 5}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x + 3 = 5^{4} (x - 5)$

Этап 5

Упростим $5^{4} (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $5$ в степень $4$ .

$x + 3 = 625 (x - 5)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 3 = 625 x + 625 \cdot - 5$

Этап 5.3

Умножим $625$ на $- 5$ .

$x + 3 = 625 x - 3125$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $625 x$ из обеих частей уравнения.

$x + 3 - 625 x = - 3125$

Этап 6.2

Вычтем $625 x$ из $x$ .

$- 624 x + 3 = - 3125$

Этап 7

Вынесем множитель $3$ из $- 624 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 624 x$ .

$3 (- 208 x) + 3 = - 3125$

Этап 7.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (- 208 x) + 3 (1) = - 3125$

Этап 7.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 208 x) + 3 (1)$ .

$3 (- 208 x + 1) = - 3125$

Этап 8

Разделим каждый член $3 (- 208 x + 1) = - 3125$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $3 (- 208 x + 1) = - 3125$ на $3$ .

$\frac{3 (- 208 x + 1)}{3} = \frac{- 3125}{3}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 208 x + 1)}{3} = \frac{- 3125}{3}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $- 208 x + 1$ на $1$ .

$- 208 x + 1 = \frac{- 3125}{3}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 208 x + 1 = - \frac{3125}{3}$

Этап 9

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 208 x = - \frac{3125}{3} - 1$

Этап 9.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 208 x = - \frac{3125}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 208 x = - \frac{3125}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 208 x = \frac{- 3125 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 208 x = \frac{- 3125 - 3}{3}$

Этап 9.5.2

Вычтем $3$ из $- 3125$ .

$- 208 x = \frac{- 3128}{3}$

Этап 9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 208 x = - \frac{3128}{3}$

Этап 10

Разделим каждый член $- 208 x = - \frac{3128}{3}$ на $- 208$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим каждый член $- 208 x = - \frac{3128}{3}$ на $- 208$ .

$\frac{- 208 x}{- 208} = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель $- 208$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 208 x}{- 208} = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Этап 10.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Этап 10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{3128}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3128}{3}$ в числитель.

$x = \frac{- 3128}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Этап 10.3.2.2

Вынесем множитель $8$ из $- 3128$ .

$x = \frac{8 (- 391)}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Этап 10.3.2.3

Вынесем множитель $8$ из $- 208$ .

$x = \frac{8 \cdot - 391}{3} \cdot \frac{1}{8 \cdot - 26}$

Этап 10.3.2.4

Сократим общий множитель.

$x = \frac{8 \cdot - 391}{3} \cdot \frac{1}{8 \cdot - 26}$

Этап 10.3.2.5

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 391}{3} \cdot \frac{1}{- 26}$

Этап 10.3.3

Умножим $\frac{- 391}{3}$ на $\frac{1}{- 26}$ .

$x = \frac{- 391}{3 \cdot - 26}$

Этап 10.3.4

Умножим $3$ на $- 26$ .

$x = \frac{- 391}{- 78}$

Этап 10.3.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{391}{78}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{391}{78}$

Десятичная форма:

$x = 5.01282051 \dots$

Форма смешанных чисел:

$x = 5 \frac{1}{78}$