Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (2 - x) = 1 + \log_{5} (- x)$

Этап 1

Изменим порядок $2$ и $- x$ .

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1 + \log_{5} (- x)$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (- x + 2) - \log_{5} (- x) = 1$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{- 45 x}{- x}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель.

$\log_{5} (\frac{- 45 x}{- x}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Этап 4.1.2

Перепишем это выражение.

$\log_{5} (\frac{- 45}{- 1}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Этап 4.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 45}{- 1}$ .

$\log_{5} (- 1 \cdot - 45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Этап 4.2

Перепишем $- 1 \cdot - 45$ в виде $- - 45$ .

$\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $- 45$ .

$\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $- 2 \log_{5} (- x + 2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{5} (45) - \log_{5} ({(- x + 2)}^{2}) = 1$

Этап 5.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}) = 1$

Этап 6

Перепишем $\log_{5} (\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5^{1}$ .

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$

Этап 7.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(- x + 2)}^{2}, 1$

Этап 7.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

${(- x + 2)}^{2}$

Этап 7.3

Каждый член в $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$ умножим на ${(- x + 2)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$ на ${(- x + 2)}^{2}$ .

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} {(- x + 2)}^{2} = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель ${(- x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} {(- x + 2)}^{2} = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Этап 7.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$45 = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Этап 7.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем уравнение в виде $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ .

$5 {(- x + 2)}^{2} = 45$

Этап 7.4.2

Разделим каждый член $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Разделим каждый член $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ на $5$ .

$\frac{5 {(- x + 2)}^{2}}{5} = \frac{45}{5}$

Этап 7.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 {(- x + 2)}^{2}}{5} = \frac{45}{5}$

Этап 7.4.2.2.1.2

Разделим ${(- x + 2)}^{2}$ на $1$ .

${(- x + 2)}^{2} = \frac{45}{5}$

Этап 7.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Разделим $45$ на $5$ .

${(- x + 2)}^{2} = 9$

Этап 7.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$- x + 2 = \pm \sqrt{9}$

Этап 7.4.4

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- x + 2 = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 7.4.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- x + 2 = \pm 3$

Этап 7.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$- x + 2 = 3$

Этап 7.4.5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = 3 - 2$

Этап 7.4.5.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$- x = 1$

Этап 7.4.5.3

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.3.1

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 7.4.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 7.4.5.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Этап 7.4.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.3.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x = - 1$

Этап 7.4.5.4

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$- x + 2 = - 3$

Этап 7.4.5.5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.5.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3 - 2$

Этап 7.4.5.5.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$- x = - 5$

Этап 7.4.5.6

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.6.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 7.4.5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 7.4.5.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 7.4.5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.5.6.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 7.4.5.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = - 1, 5$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (2 - x) = 1 + \log_{5} (- x)$ истинным.

$x = - 1$