Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (x^{2} - 2 x - 15) - \log_{4} (x + 3) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}) = 2$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\log_{4} (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x + 3}) = 2$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\log_{4} (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x + 3}) = 2$

Этап 1.3.2

Разделим $x - 5$ на $1$ .

$\log_{4} (x - 5) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{4} (x - 5) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{2} = x - 5$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x - 5 = 4^{2}$ .

$x - 5 = 4^{2}$

Этап 3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x - 5 = 16$

Этап 3.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 16 + 5$

Этап 3.3.2

Добавим $16$ и $5$ .

$x = 21$