Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $- 2 \log_{3} (x - 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{3} (x + 1) - \log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 1$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$

Этап 3

Перепишем $\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x + 1 = 3 ({(x - 1)}^{2})$

Этап 5

Упростим $3 ({(x - 1)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = 3 ((x - 1) (x - 1))$

Этап 5.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Этап 5.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

Этап 5.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 - 3 x^{2} = - 6 x + 3$

Этап 6.2

Добавим $6 x$ к обеим частям уравнения.

$x + 1 - 3 x^{2} + 6 x = 3$

Этап 6.3

Добавим $x$ и $6 x$ .

$7 x + 1 - 3 x^{2} = 3$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$7 x - 3 x^{2} = 3 - 1$

Этап 7.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$7 x - 3 x^{2} = 2$

Этап 8

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$7 x - 3 x^{2} - 2 = 0$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $- 1$ из $7 x - 3 x^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Изменим порядок $7 x$ и $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 7 x - 2 = 0$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $7 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 2 = 0$

Этап 9.1.4

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 9.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 7 x)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 9.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 7 x) - 1 (2)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Этап 9.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Этап 9.2.1.1.2

Запишем $- 7$ как $- 1$ плюс $- 6$

$- (3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2) = 0$

Этап 9.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2) = 0$

Этап 9.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2) = 0$

Этап 9.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1)) = 0$

Этап 9.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x - 2)) = 0$

Этап 9.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x - 1) (x - 2) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 11

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 12

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 12.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x - 1) (x - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, 2$

Этап 14

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$ истинным.

$x = 2$