Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (x - 10) + \log_{2} (x - 3) - \log_{2} (x) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 10) (x - 3)) - \log_{2} (x) = 2$

Этап 1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{(x - 10) (x - 3)}{x}) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{2} (\frac{(x - 10) (x - 3)}{x}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{2} = \frac{(x - 10) (x - 3)}{x}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$(x - 10) (x - 3) = 2^{2} (x)$

Этап 4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(x - 10) (x - 3) = 4 x$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$(x - 10) (x - 3) - 4 x = 0$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Развернем $(x - 10) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 3) - 10 (x - 3) - 4 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 10 (x - 3) - 4 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

Этап 5.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

Этап 5.2.2.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 10$ на $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 10 x + 30 - 4 x = 0$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $10 x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 13 x + 30 - 4 x = 0$

Этап 5.3

Вычтем $4 x$ из $- 13 x$ .

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$

Этап 6

Разложим $x^{2} - 17 x + 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $30$ , а сумма — $- 17$ .

$- 15, - 2$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 15) (x - 2) = 0$

Этап 7

Упростим $(x - 15) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Развернем $(x - 15) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 2) - 15 (x - 2) = 0$

Этап 7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 15 (x - 2) = 0$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.2.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 15$ на $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 15 x + 30 = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $15 x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$

Этап 8

Разложим $x^{2} - 17 x + 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

$- 15, - 2$

Этап 8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 15) (x - 2) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 15 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 10

Приравняем $x - 15$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x - 15$ к $0$ .

$x - 15 = 0$

Этап 10.2

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$x = 15$

Этап 11

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 11.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 15) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 15, 2$

Этап 13

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (x - 10) + \log_{2} (x - 3) - \log_{2} (x) = 2$ истинным.

$x = 15$