Основы мат. анализа Примеры

$\log (2 x + 4) + \log (x - 2) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((2 x + 4) (x - 2)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(2 x + 4) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x (x - 2) + 4 (x - 2)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 (x - 2)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2) = 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2) = 1$

Этап 1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2) = 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\log (2 x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 2) = 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\log (2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8) = 1$

Этап 1.3.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$\log (2 x^{2} + 0 - 8) = 1$

Этап 1.3.3

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$\log (2 x^{2} - 8) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log (2 x^{2} - 8) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x^{2} - 8$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} - 8 = 10^{1}$ .

$2 x^{2} - 8 = 10$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} = 10 + 8$

Этап 3.2.2

Добавим $10$ и $8$ .

$2 x^{2} = 18$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 x^{2} = 18$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 18$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{18}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $18$ на $2$ .

$x^{2} = 9$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (2 x + 4) + \log (x - 2) = 1$ истинным.

$x = 3$